风险：度量、分布与模型边界¶
风险价值与压力测试¶
VaR：用一个数字描述风险¶
风险管理首先需要一种语言。金融中缩写 VAR 很容易造成混淆：它可以指方差（variance），也可以指风险价值（Value at Risk），还可能指向量自回归（vector autoregression）。这里讨论的是风险价值。它是一个相对较新的说法，大约在 1987 年股灾以后才开始流行，用来量化一项投资或整个投资组合的风险。
假设一家机构说：“我们的 1% 一年期 VaR 是 1,000 万美元。”课程把它口语化地表述为“未来一年有 1% 的可能损失 1,000 万美元”。更严格地说，它不是“最多只会亏 1,000 万美元”，而是：按照所使用的概率模型，未来一年损失超过约 1,000 万美元的概率估计为 1%。VaR 给出的是某个置信水平下的损失分位点。
VaR 很有用，因为它用美元金额、给定概率和时间跨度，把不同头寸的风险压缩成一个可以比较的数字。但它也有明显局限。最重要的是，它没有告诉你落入那 1% 以后会损失多少。超过界线的损失可能只多一点，也可能大得多。模型还依赖历史数据、分布假设和资产之间的相关性；极端时期，这些假设恰恰最容易失效。
压力测试：主动设想危机¶
因此，监管者还会使用 压力测试（stress test）。这个词原本是医学用语。医生担心你的心脏时，会让你在跑步机上运动，同时接上心电图，观察心脏在压力下怎样工作。后来，这个说法进入了金融。
金融压力测试不是一个像方差那样的基础统计量，而是一种评估企业或投资组合风险的方法。它不只回看历史收益有多大波动，而是检查投资组合的具体内容，寻找它在不同金融危机中的脆弱点。真正给企业最大压力的常常是危机，不是日常的小幅变化。
美国住房企业监督办公室（OFHEO）在 2008 年危机前已经对 Fannie Mae 和 Freddie Mac 做压力测试。测试并没有奏效，两家机构都失败了，但至少监管者已经在尝试。美国 2010 年《Dodd-Frank 法案》随后要求美联储每年对其监管的非银行金融机构进行压力测试，并要求至少设置三个经济情景。
监管者会向企业收集其与其他机构的联系、所持资产及其安全程度等信息，再问一系列问题：严重衰退会怎样？美元大幅升值或贬值会怎样？短期融资忽然枯竭会怎样？这是一种情景分析，计算会深入到具体机构的资产负债表。欧洲银行管理局在危机后也建立定期压力测试，英国、中国和其他国家同样采用了这种方法。
为什么压力测试仍会失败¶
问题是：这些测试真的有效吗？斯坦福大学教授 Anat Admati 对此非常怀疑。她认为，试图预测企业在下一次恐慌中会有何表现的人，往往缺少想象力，也不了解金融恐慌真正展开时各部分怎样相互作用。压力测试常给出“没问题，不必担心”的结论，但现实未必如此。
大约在 2005 年，我曾与 Freddie Mac 的首席经济学家在耶鲁同台。他颇为自豪地介绍公司的压力测试。我问：如果发生房地产危机，房价大幅下跌，会怎样？Freddie Mac 正是一家为住房抵押贷款提供担保的公司。他回答，公司已经计算过投资组合在极端压力下的情况。
我当场追问：“你们考虑过的最大房价跌幅是多少？”他说是 13%。我又问：“如果跌得更多呢？”他显得有些为难，说自大萧条以来从没见过那样的房价下跌，“你不是在说又一次大萧条吧？”我们至今仍是朋友，度假时还会见面。可就在那场对话后几年，房价下跌了约 30%，原先被认为安全的 Fannie Mae 和 Freddie Mac 双双陷入危机。当年的 OFHEO 报告虽以谨慎措辞表达了一点担忧，但基本信息还是“不用担心”。后来 OFHEO 也被撤销。
信息披露中的激励冲突¶
压力测试还面对激励问题。如果我是企业 CEO，我当然会要求内部做压力测试。但若结果很差，我会愿意公开吗？一旦交易伙伴知道公司脆弱，就可能不再与它做生意，企业声誉甚至生存都会受影响。政府要求披露信息时，企业就有很强动机去美化结果。
《Dodd-Frank 法案》赋予金融研究办公室传票权，可以要求企业提供资料。即使如此，在现实中取得完整信息仍然是一场较量：企业不愿意告诉你，监管者是否有足够动力持续追问，也并不确定。
风险管理不能只依赖一个数字。VaR 让日常风险变得可测量，压力测试迫使我们想象模型之外的冲击；两者都需要判断，也都可能受组织激励影响。问题不是要不要测试，而是我们能否设计出足够严厉、足够诚实的测试。
理解补充｜为什么“1% VaR”不是最大损失
把所有可能损失从小到大排列，99% 分位点就是 1% VaR 对应的界线。它只确定界线的位置，不描述界线右侧的形状。要了解尾部到底有多严重，还需看期望短缺（Expected Shortfall）或具体压力情景。
从标普 500 与苹果股票理解 Beta¶
整个市场也不会被大数定律“抹平”¶
标普 500 股票价格指数常被用作市场收益的基准。观察 2000 年至 2016 年的指数，就像坐过山车：此前长期上涨，随后几乎跌去一半；2003 年开始再度上升，2007 至 2009 年的金融危机又带来巨大下跌；从 2009 年低点往后，指数大约增长到三倍。
这很不稳定，而且令人困惑。标普 500 已经是 500 只股票的平均。如果每只股票彼此独立，大数定律会使整个指数接近稳定。可市场仍然大起大落，说明股票之间存在明确的依赖关系。这里我不打算预测市场，并暂时假定市场很难预测；我们先用历史收益标准差来量化风险，不追逐眼下最新的消息。
高回报背后的真实持有体验¶
再把苹果股票放到同一张图上。两条曲线都从 100 起步，到样本末期苹果大约达到 3,500，十五年中增长约 40 倍。假设你在 2000 年上这门课，回家对父母说：“苹果是一项绝佳投资。请给房子办第二笔抵押贷款，借 40 万美元全部买苹果。”如果他们真的照做，后来会拥有超过 1,500 万美元。
问题当然是没人知道未来。要是当时已经知道苹果会这样上涨，人人都会买。更现实的是，2000 年买入后苹果先大幅下跌，约四分之三的钱消失，并在低位徘徊四年。父母会问：“你让我们借了 40 万，现在只剩 10 万，你知道自己做了什么吗？”你只能再次劝他们坚持。这就是投资的困难：多年表现糟糕以后，人会真正怀疑自己的判断。
公司文化能够持续影响结果¶
那时 iPhone 还没有出现，苹果一度像是已经完了。Steve Jobs 是苹果创始人，不太好相处，也有些古怪，最后被自己的公司解雇——创始人同样可能被解雇。公司换上所谓专业管理层，价值却一路跌到低点。后来董事会请 Jobs 回来，承认他也许确有某种天才。Jobs 去世后苹果仍然表现良好，这或许是因为组织会形成一种能够延续的文化。
《经济学人》也是例子。它创办于十九世纪早期的伦敦，至今仍是一份优秀杂志。我曾去拜访过他们，发现文章通常不署名。年轻作者不能靠文章署名成名，这与其他媒体很不同，却塑造了独特的组织文化。公司文化可能持续很久，也会产生惊人的离群结果。
用回归分开两种风险¶
回到收益率图。苹果的月收益远比标普 500 更不稳定，噪声大到仅凭月度曲线甚至难以判断哪一项长期表现更好。苹果曾在一个月内损失接近 60%，月度资本利得标准差约为 12.8%。它和市场似乎同向变化，但公司自身的巨大波动经常淹没这种关系。
为了区分一只股票受到哪些风险影响，我们可以把苹果的月收益率画在纵轴，把同期市场收益率画在横轴。每一个点代表一个月。纵轴大约从 -80% 到 +60%，横轴大约从 -50% 到 +50%，再次显示苹果波动更大。点云整体向右上方倾斜：市场收益高时，苹果收益通常也高；市场收益低时，苹果通常也低。穿过点云画一条最合适的直线，其斜率就是 Beta。视频中的估计约为 1.45。
Beta 为 1.45 的含义是：从回归关系看，市场收益率每变化 1 个百分点，苹果收益率平均同方向变化约 1.45 个百分点。可以说苹果对整个市场的变化反应过度。Beta 为 1 的资产往往与市场一比一变化；Beta 为 2 的股票相当少见，1.45 已经很高。好时期，人们觉得苹果会格外好；坏时期，人们也觉得苹果会格外糟。
它并不表示每个月都精确如此。各观测点到回归线的垂直距离叫 残差（residual），代表市场整体变化不能解释的部分。Steve Jobs 去世、某款产品失败之类的消息主要影响苹果，不会同样影响整个市场。苹果有主动冒险的文化，会尝试可能失败的事情；并非每次都成功，但平均而言还是成功的。
于是，一只股票的风险可以粗略分成两部分：
- 与市场共同变化的系统性风险；
- 公司自身消息造成的特有风险，也就是残差部分。
从回归线得到方差分解¶
用方差表示，就是：
第一项叫系统性风险，第二项是回归残差的方差。回归线通常写成：
其中，\(R_M\) 是市场收益率，\(\beta\) 是斜率，\(\alpha\) 是截距，\(\varepsilon\) 是残差。还记得代数里的 \(y=mx+b\)：这里 \(y\) 是苹果收益，\(x\) 是市场收益，\(m\) 是 Beta，\(b\) 是 Alpha。
怎样在许多散点中选出一条线？任意画线后，每个点与线之间都有一个垂直距离，也就是那个点的残差。让直线穿过其中两个点，可能会让第三个点离得很远。最小二乘法综合所有点，选择使残差平方之和最小的斜率和截距。
这里真正重要的不是记住苹果的某个历史 Beta，而是学会分辨：哪些波动来自整个市场，哪些只属于单个公司。后面讨论分散化和资本资产定价模型时，这一区分会成为核心。
理解补充｜Beta 不是“总风险”
两只股票的价格波动可能同样大，但如果一只主要随市场波动，另一只主要受自身事件影响，它们的 Beta 可以很不同。Beta 只度量与市场共同变化的敏感度，不度量所有波动。
正态分布、厚尾与离群值¶
正态分布塑造的直觉¶
我们已经谈到离群值，现在要问它究竟是什么。大家大概都见过随机变量的正态分布，也就是钟形曲线。自然界中许多随机变量接近这种分布。它有两个参数：均值和标准差。图中可以画出均值同为 0、标准差分别为 1 和 3 的两条曲线；标准差越大，曲线越分散。
若把它看成股票收益率分布，曲线右侧是高收益的右尾，左侧是低收益的左尾。曲线高度表示概率密度，曲线下某一区间的面积表示结果落入该区间的概率。假设标准差为 3%，那么偏离均值一个标准差的 3% 收益并不罕见；偏离三个标准差的 9% 已经极少，四个标准差以外在正态模型中几乎不会发生。
人的身高、智商或 SAT 成绩常近似正态。我们也因此形成一种直觉：如果一个变量一直在 -5 到 +5 之间，就觉得它不可能忽然变成 15。生活经验把我们训练成这样思考，但金融收益往往不服从这种直觉。
Cauchy 分布如何欺骗观察者¶
为了看出差别，可以比较从正态分布和 **Cauchy 分布**中各抽取 100 次的结果。正态样本上下变化的幅度看起来比较一致；出现十倍于通常变化幅度的结果，其概率可以忽略不计。Cauchy 样本在很长一段时间里也会看起来近似正态，甚至难以分辨，可它会突然“砰”的一声出现一个巨大的正值或负值。
Cauchy 分布中央部分也像钟形，区别很细微：正态曲线的尾部迅速趋近于零，Cauchy 的尾部却在很远处仍明显高于零。我们把这种现象称为“厚尾”。厚尾最危险的地方，是它会让人长期误以为自己生活在一个稳定、风险已被理解的世界，直到巨大事件突然发生。
为什么历史样本可能遗漏真正的风险¶
中心极限定理说，大量独立同分布冲击的平均值会近似正态分布，但它要求底层变量满足相应条件，不能简单忽略厚尾。若个股收益本身有厚尾，从一段恰好没有极端值的样本算出的平均值，就可能无法代表很长时期里的真实平均。
我的朋友 Nassim Taleb 写过《黑天鹅》。一个人一生见过的天鹅也许都是白色的，于是会推断黑天鹅不存在；事实上黑天鹅确实存在。他用这个比喻说明：从有限经验得出的稳定规律，可能被一个原以为不存在的事件打破。
看 1928 年以来股票日收益率的直方图，大部分观测密集在中央。大约 9,500 个交易日的收益落在 +1% 附近，约 2,500 天在 +2% 附近，+3% 和 +4% 的天数继续迅速减少，超过 +5% 后柱子几乎看不见。只看图的中央部分，很容易得出“市场每天总在 -6% 到 +6% 之间”的结论。
但 1929 年 10 月 30 日，市场单日上涨约 12.53%。1987 年 10 月 19 日，标普 500 单日下跌约 20.47%。如果把日收益率机械地当作具有相同均值和标准差的稳定正态分布，超过 20% 跌幅的估计概率大约低至 \(3\times10^{-71}\)。这个数几乎为零，已经小到可以拿宇宙中的原子数量来比较。可这个估计是错的，因为事件真的发生了。
1987 年：模型中的零概率事件真的发生了¶
1987 年崩盘那天，我正在讲 Econ 252，也就是这门课。一名学生带着晶体管收音机——那是 iPhone 和笔记本电脑出现以前的东西——突然举手说：“你知道吗？就在你讲课的时候，股市正在崩盘。”我没有回办公室，而是直接去了纽黑文市中心的 Merrill Lynch 经纪公司，坐电梯上楼，闯进去看发生了什么。
现场一片混乱。电话根本打不通，因为经纪人接到的来电太多；我直接走到自己的经纪人面前问：“发生什么了？”他回答：“别担心，别恐慌。”那是美国股市历史上最大的单日跌幅。幸好，课堂里那位带收音机的学生及时提醒了我。极端风险不是纸面上的抽象，我在那里亲眼看见它发生，也看见它引发的激动与恐慌。
理解补充｜模型错了吗？
正态分布并非毫无用处。它常能描述普通时期的中央区域，也让计算变得可行。错误在于把一个近似模型当成自然定律，尤其用它外推极端尾部。风险管理既要会用模型，也要知道模型在哪些地方最脆弱。