分散化与资产定价¶
协方差、分散化与 Beta¶
两家看似相同的初创公司¶
从最简单的例子开始。设想两家初创公司都在尝试有风险的新业务。每家公司明年成功的概率都是 50%，像抛一枚公平硬币；成功时值 100 万美元，失败时一文不值。每家公司的期望价值都是 50 万美元。把单位改写成 1 和 0，期望就是 0.5，方差是：
现在关键不是单看每家公司的方差，而是看它们是否一起成功或失败。
情形一：彼此独立¶
协方差像方差，但它考察两个变量，而不是一个变量。若两家公司彼此独立，共有四种等可能结果。两家都成功的概率为 0.25，二者都比各自均值高 0.5；两家都失败的概率也是 0.25，二者都比均值低 0.5；一家成功而另一家失败有两种排列，合计概率为 0.5。于是：
正向共同变化与反向变化恰好抵消，协方差为 0。把资金平均放在两家公司，组合比只投一家稳定。作为投资者，我们喜欢这种独立性，因为它让一种失败不必同时拖垮另一种投资。
情形二与三：同向或反向¶
如果两家公司表面不同，其实押注同一个商业想法，它们可能总是同时成功、同时失败。此时“一成一败”的概率降为 0，共同成功和共同失败各有 0.5 概率，协方差变成 0.25。这个正数是一面危险的旗帜：把钱分成两份并没有降低风险，因为两份投资其实在承受同一种冲击。
另一种可能是两家公司结果恰好相反：只有一家能够成功。一家成功时另一家一定失败，它们的协方差为负。各投一半后，组合价值始终是 0.5，风险可以被完全抵消。
两个变量的协方差定义为：
分散化真正关心的是共同变化¶
这个例子揭示了分散化的实质：风险由协方差决定，重要的不是持有多少个名字，而是这些资产怎样共同变化。多数业余投资者没有这种思考习惯。他们逐项查看投资，而不回头问它与已有资产的协方差。买入许多本质相同的公司是在自找麻烦：它们会一起成功，也会一起爆炸，人不能用这种方式生活。
今天任何投资者都可以通过共同基金持有大量资产，还有把资金投向全世界的全球基金。为什么不利用这个机会？持有全球资产仍然无法消除整个世界的市场风险，但可以消除大量公司特有风险。许多个人投资者却只盯住一只股票，准备把所有钱放进去，没有看到广阔世界里还有多少分散风险的选择。
从协方差进入 Beta¶
Beta 也可以用协方差表示：
它度量资产 \(i\) 与市场共同变化的程度。整个市场组合相对于自己的 Beta 为 1，因此按市值加权的平均 Beta 也是 1。Beta 高于 1 的资产通常对市场更敏感；Beta 为负的资产在市场下跌时可能上涨，像保险一样提供保护。黄金有时被人们视作可能具有这种特征的资产，但这种关系并不固定。
理解补充｜从协方差到 Beta，只多了一步标准化
协方差告诉我们一项资产与市场同向变化多少，但数值还受市场本身波动大小影响。除以市场方差以后得到 Beta，便可把不同资产放在同一尺度比较。Beta 为 1 表示与市场的共同波动程度和市场自身一致。
CAPM 是有用的基准，不是现实的全部¶
在资本资产定价模型中，市场只补偿无法通过分散化消除的系统性风险，所以市场会要求高 Beta 股票提供更高的期望收益，也愿意接受低 Beta 股票较低的收益，因为后者给投资组合增加的风险较少。若存在负 Beta 资产，即使它自身不支付股息，只要在其他投资下跌时反向变化，也可能值得持有。黄金常被拿来作理论例子，但它的 Beta 并不总为负。
这一切以投资者厌恶风险为前提。你可能问，George Soros 或 Warren Buffett 是否没有那么厌恶风险。我并不了解他们内心的根本偏好；我的猜测是，他们非常清楚这些理论，只是在某些时候愿意承担风险，因为他们对概率有不同判断，也许更聪明或工作得更多。
现实不会像黑板例子一样，把所有概率都清楚地交给我们。CAPM 很抽象，也很理想化，没有人完全照它行动。但它作为思考金融市场的第一步仍然非常出色，可以避免许多错误。这个结论以后会正式写成公式。
不要把所有鸡蛋放在一个篮子里¶
从购买保险转向持有多种资产¶
保险不是管理风险的唯一方法。另一种办法不是购买保单，而是持有多种资产，通过 分散化（diversification） 管理风险。为了建立投资组合理论，我们先从一张白纸开始：个人没有必须另外保险的特殊风险，不住在地震带，或那些风险已经通过保险处理。现在只考虑为了投资而主动承担的风险。
投资本来就有风险。向你提供投资机会的人最终在现实世界里做某件不确定的事；若完全没有风险，也就没有理由给你额外回报。问题不是怎样把风险降到零，而是怎样在期望收益和风险之间作出好的选择。
常见格言是：“不要把所有鸡蛋放在一个篮子里。”也有人说“把所有鸡蛋放在一个篮子里，然后看紧那个篮子”，我一时想不起是否出自 Mark Twain。因为喜欢思想史，我还查过前一句最早出现在哪里。我找到 1874 年 Alexander Crump 关于投资的一本书，书中已经说“有一句老话，不宜把所有鸡蛋放在一个篮子里”，但他也没有给出更早来源。
Harry Markowitz 提出的均值—方差分析，把这一问题写成了数学模型。每项资产有期望收益和收益方差，资产之间还有协方差。投资组合的风险取决于这些量以及每项资产的权重。
两项资产怎样组成一个整体¶
对于两项风险资产，若权重为 \(w\) 和 \(1-w\)，组合收益为：
期望收益为：
方差为：
最后一项解释了分散化为何有效。只要两项资产不是完全正相关，组合的标准差就可能低于两项资产标准差的加权平均。持有“很多资产”还不够，它们必须面对不同的风险来源。
评价对象应是整个组合¶
在 Markowitz 模型里，投资者应从整个投资组合出发，而不是逐项问某只证券是否危险。一个理性的经济人为什么要在意其中一只股票涨跌？有人喜欢拿某次个股交易夸耀投资技巧，可投资总有赢有输，真正重要的是整个组合的平均收益，以及总收益有多不确定。一项单独看来波动很大的资产，如果在其他资产下跌时上涨，反而可能降低整体风险。
Markowitz 的突破及其边界¶
这个思想来自 Harry Markowitz。他在二十世纪五十年代初还是 University of Chicago 的研究生时，想到可以把风险写成一个方差矩阵，假定已经知道各资产的期望收益和波动，再计算资产管理人应当怎样配置。核心数学可能只需一页。令我惊讶的是，这么清楚的思想此前竟没有形成；思想史上有时就是会出现这样的时刻，一个观念忽然结晶，随后引发金融学的一场革命。
给定相同的市场预期，所有理性投资者面对的是同一组可行投资组合；差别在于风险厌恶程度。更厌恶风险的人选择较稳定的组合，愿意承担风险的人选择较高收益、较高波动的组合，甚至借款加杠杆。如果把这种杠杆调整抽象掉，理论的关键洞见是：最优风险资产组合对所有人相同。
计算中有时应持有一项资产的正数量，有时应持有负数量。决策不只取决于该资产自己的期望收益，还取决于其他资产的收益，以及它与其他资产的协方差。听起来极其复杂，其实是简单的微积分，Markowitz 在 Chicago 的房间里把它算了出来，此后一直影响金融学。
我喜欢这个模型，所以要在课程开头介绍它；但我也不完全信任它。数学模型可能被高估，它不是全部故事。人的特殊目标、负债、职业风险和判断错误都会影响合适的组合。
风险沙龙：对冲基金、系统性风险与人的生活¶
对冲基金为什么只面向特定投资者¶
在风险主题的讨论中，学生先问大型对冲基金承担大量风险和杠杆，会怎样影响市场。对冲基金是不能面向普通零售市场公开销售的投资公司，通常不能做大众广告，只能通过私人交谈推介。要投资它们，必须成为“合格投资者”，而不是一般投资者。它们因此获准采用更复杂、更危险的策略。
监管背后的想法是，对冲基金面向拥有专业顾问或 family office 的人。如果你极其富有，不只会请一位顾问，而会雇一支团队，全部工作就是管理家族投资。高风险产品有些像药物：药物与病人之间需要医生，复杂投资与客户之间也需要真正专业的判断。
过去不少对冲基金表现很好，但课程录制前几年平均表现并不好，我不能把它们作为一个整体推荐。假如你的 family office 仔细挑选后建议某只基金，那是另一回事。对冲基金自称代表最成熟的投资者，传统上也在业绩好时给经理极高报酬。费用最终从客户口袋里支付，因此怀疑者会说，没有人值得如此高昂的管理费。至少一部分对冲基金自身也像泡沫：一度给人业绩很好的印象，大量资金涌入，后来却不再出色。
限制投资者资格的理由，是复杂、高风险产品可能不适合无法承受损失的人。但财富并不等于理解力，而普通人也可能因无法进入某些市场失去机会。监管必须在保护投资者和允许创新之间取舍。
从个体保护转向系统性风险¶
学生接着问，大型金融机构承担的风险可能制造巨大危机，应当监管到什么程度？2008 至 2009 年金融危机以后，人们更强烈地认识到必须处理 系统性风险，也就是整个体系像纸牌屋一样倒塌的风险。
危机前的监管更多是 微观审慎（microprudential）：例如防止经纪人侵占某个客户的钱，着眼于保护一家公司或一个人。危机后，**宏观审慎（macroprudential）**监管得到新的推动：一家大企业与其他机构连接多深？对方失败时它会怎样？全球危机来临时它能否承受？许多机构单独看来合理的行动，合在一起可能造成价格暴跌和流动性枯竭。
VaR 和监管当然在危机前已经存在。危机以后，宏观风险评估和压力测试变得更细致，监管者会指定多种金融危机情景，要求机构估计自己受到的影响，并格外检查相互连接。2008 年危机使所有人措手不及，当时人们甚至不知道银行之间究竟连接多深，只能在信息不足的情况下猜测和行动。
黑天鹅为什么难以进入模型¶
学生又问到 Taleb 的黑天鹅。如果一个人一生都在一个“某件事不可能发生”的假设上积累财富，最后“砰”的一下，那个事件发生，一生财富就可能全部失去。住房危机中的许多人以为房价不会下降，因为大萧条以后没见过全国性大跌，这正接近黑天鹅式错误。
但罕见巨灾在学术上极难处理。正因为罕见，我们没有足够的数据量化它。有效市场理论的支持者如 Eugene Fama 可能会说：市场下跌时不要马上断定价格疯了，也许价格正在反映某种细微证据，提示一个重大事件的概率上升。这是一种可能解释，但我们永远难以确定。
若世界没有黑天鹅，金融会成为容易得多的职业。可惜我们生活在一个存在巨灾风险的真实世界。灾难越罕见，统计估计越不可靠，也越需要想象力、制度知识和公开讨论。
从金融账户扩展到人的生计¶
我们也不应把风险管理局限在证券价格。学生问，既然可以对冲石油和农业风险，能不能对冲劳动市场风险？英国大约在 1911 年就开始失业保险，提供一段临时支持。失业者常有家庭却没有储蓄，在绝望中只能接受第一份工作，而那份工作可能不适合长期职业发展。给他们约六个月的支持和求职服务，可以让人有时间找到更合适的工作。
但传统失业保险主要解决短期内重新就业的问题。今天的不平等还表现为另一种风险：一个人大约 50 岁失去工作，也许能找到新工作，却只能得到工资低、前景差的职位。企业偏爱年轻人，也不愿为可能工作年限较短的中年人重新培训。
我把应对这类风险的设想称为 生计保险（livelihood insurance）。经济学家 Lori Kletzer 和 Robert Litan 更早提出类似的 工资保险（wage insurance）：一个人失去工作后只能接受一份工资较低的工作，就从保险合约获得补偿。Obama 总统在 2016 年国情咨文中也提出过这一思路。政府可以提供，私人保险人和私人市场也未必不能参与。
信息技术、机器人和全球化迅速发展，一个人对人力资本的投资可能很快过时，所以这类保障比过去更重要。金融创新真正值得追求的方向，是保护人的生活，而不只是保护交易账户。
好的风险管理并不会让社会变得畏缩。正如我在书中论述的，帮助人们管理风险以后，他们反而会承担更多风险，而这正是我们想要的。人在选择教育时可以培养一种可能过时、却也可能极有价值的专长；没有人知道结果，他们是在抓住机会。当人们知道一次失败不会毁掉一生时，他们更愿意创业、换工作、接受教育和尝试新事物。保险和金融的积极作用，正是让人能够承担值得承担的风险。
资本资产定价模型与市场投资组合¶
为什么个人投资者需要基金¶
资本资产定价模型是关于最优投资组合的模型。它断言，所有投资者都会持有最优组合。我们接下来会看市场收益与苹果收益的散点图：每个时期是一个点，穿过点云的回归线斜率叫 Beta。现在要把这种风险关系放进完整组合。
个人应当分散化，在篮子里放许多不同的鸡蛋。但小投资者过去很难做到，因为需要购买每家公司的零碎股份，而经纪人偏好一手 100 股的整批交易。个人资金太少，就需要某种公司替他建立分散组合。
几十年前人们把这类组织称为投资信托，后来出现不同形式的共同基金。课程把二十世纪二十年代的 Massachusetts Investment Trust 称为第一只共同基金；这里的 MIT 不是 Massachusetts Institute of Technology。共同基金在四十年代以后才真正普及。它代表客户持有许多资产，“共同”的含义是收益按基金份额在投资人之间分配，而不是先被另一类股东拿走，并由此形成分散组合。
“完全分散”意味着持有什么¶
真正的完全分散化不应只包括股票，甚至也不只包括股票和债券，还应考虑房地产、石油等商品以及其他可以投资的财富形式。
风险金字塔为什么容易误导¶
我职业生涯中曾因为自己创办公司而不得不参加 Series 7 证券经纪资格考试，虽然我一辈子从未真正当过经纪人。备考材料把投资分成低风险、中等风险、高风险和投机，并画出登山者爬向顶端的金字塔。我得把它背下来，却总觉得哪里不对：图看起来甚至像是在鼓励人一路爬向最投机的资产。
这张图不一定错，却容易让人误以为每项资产有一个脱离组合的固定危险程度。CAPM 给出的回答很简单：不管你自己的风险偏好怎样，所有类别都应持有。艺术品、宝石、贵金属、期权、商品、风险投资，我全都要。进入糖果店时，不是只选一块糖，而是说“每一种都给我一块”。Markowitz 的观点是，一项资产的作用取决于它和其余组合怎样共同变化；单独波动大，不代表加入组合后一定增加同样多的风险。
两百年股票溢价带来的疑问¶
我的老朋友、Wharton 教授 Jeremy Siegel 在《Stocks for the Long Run》第五版中计算了美国 1802 至 2012 年、共 210 年的资产收益。扣除通胀后，股票几何平均实际年收益率约为 6.6%，短期政府证券约为 2.7%，差额约 3.9 个百分点。这就是股票风险溢价。
两百年是很长时间。既然股票整体好这么多，为什么还会有人持有短期政府证券？这就是历史上的股票风险溢价。所谓 股票溢价之谜（equity premium puzzle），是指标准资产定价模型难以用合理的风险厌恶程度解释为什么这项溢价长期如此之高。CAPM 正要解释为什么高历史收益不等于免费午餐。
为什么历史收益不能直接当作未来参数¶
但不能简单把这组美国历史数字当成未来规律。William Goetzmann 指出，美国股票溢价在一定程度上可能反映选择偏差。美国或许是世界上最成功的资本主义国家，至少非常接近。只观察这个赢家的证券历史会产生误导。若从 1802 年开始观察俄罗斯，后来会遇到布尔什维克革命，原有投资几乎被全部抹去。历史上的赢家更容易留下完整数据，失败的市场和消失的资产则容易被忘记。
因此，把“股票必然跑赢其他投资”当作上帝的法则是一种谬误。美国历史上看起来确实如此，但未来是否会重复仍是另一个问题。
人们还常把公用事业股票称为“安全股票”。电力和燃气公司每月照常供能，几十年很少破产，看起来既无聊、Beta 又低，过去五十年数据也会支持这种判断。
可公用事业并非一直无聊。二十世纪二十年代，全世界正在电气化，电灯还是令人兴奋的新技术。这间老教室建成时也许使用煤气灯，后来才换成明亮得多的电灯。1929 年崩盘以前，涨得最猛的领域之一正是公用事业，随后也严重下跌。
所以，过去对未来有一些参考意义，却不能无条件相信。若知道结构已改变，就更不能机械外推。面对 Facebook、Google 或 Alphabet 这样的公司，过去收益能否预测未来？世界变化太快，没人知道。我们需要模型，却不能把模型的参数当成永远不变。
理解补充｜同一个风险组合，为什么风险偏好还能不同？
CAPM 的理想化结论不是所有人投入相同金额，而是所有人持有相同构成的风险资产组合。保守者把较少财富放入该组合，其余持有无风险资产；激进者把更多财富放入，甚至借钱扩大头寸。
再看 Beta：回归斜率与公司特有风险¶
逐点画出市场与苹果的关系¶
再用粉笔一步一步画散点图。横轴是整个市场，也就是所有可投资资产的收益；为了简化，可以先想成所有股票。纵轴是单只股票的收益，我们选当时美国规模最大的公司苹果。每一个点代表一年。
假设某年市场上涨 10%，苹果上涨 15%，就在横坐标 10%、纵坐标 15% 的位置画一点。另一个年份市场下跌 5%，苹果下跌 10%，就在左下方画一点。加入许多年后，会得到一片有正有负、但总体从左下朝右上的点云。
尽可能贴近点云画出的直线叫回归线，斜率叫 Beta。苹果的斜率约为 1.5。市场上涨 10% 时，回归线预测苹果平均上涨约 15%；市场下跌时，苹果平均也下跌得更多。每年的数据点并不会精确落在线上，所以这里说的是平均关系。
回归线之外是公司特有风险¶
比如市场表现很好的一年，Steve Jobs 可能生病，苹果因此没有同步上涨。这种只属于苹果、让点偏离回归线的变化，就是公司特有风险。持有许多不同公司的股票后，这些正负残差可以互相抵消；整个市场共同上涨或下跌的部分却无法靠增加股票数量消除。CAPM 因而认为，投资者更关心 Beta，而不是可以被平均掉的特有风险。
高 Beta 可能来自业务风险或杠杆¶
为什么有些公司 Beta 高？模型本身没有回答原因，我们只能在模型之外思考。苹果会投资以前没有人做过、成败未定的项目，而成功又依赖经济状态。如果严重衰退时发布一款新 iPhone，销售可能很差。
另一种原因是财务杠杆。公司借入大量资金后，必须赚到足够的钱偿债，否则就会破产，于是营业状况的小变化会被放大为股东收益的大变化。苹果不属于高负债类别，反而积累了很多现金，这会压低它的 Beta；但公司极具活力、业务又与经济环境紧密相连，Beta 仍然接近 1.5。
负 Beta 资产如何保护组合¶
Beta 也可以小于零。黄金在某些时期可能就是负 Beta 资产。股市崩盘时，人们恐慌，想持有某种感觉安全的东西。至少无论发生什么，黄金仍是黄金；如果担心自己会成为难民，还能把它装进随身袋子带走。这种心理使黄金有时与市场反向变化，散点图的回归线会向右下方倾斜。
市场和经济表现很好时，黄金回报未必出色；衰退和恐慌时，它可能走高。负 Beta 资产以另一种方式帮助组合：平均收益也许不高，却能抵消市场冲击。只要低收益没有完全抵消这种保护价值，投资者就愿意持有。这里说的是特定时期的关系，不能假定黄金永远有负 Beta；Beta 是从样本估计出来的，会随时间改变。
证券市场线：只有 Beta 得到风险补偿¶
从 Beta 推导要求收益率¶
现在讨论证券市场线（Security Market Line），这是资本资产定价模型中最令人印象深刻的结论。它建立资产期望收益与 Beta 之间的关系。资本资产定价模型（CAPM）的核心公式是：
其中，\(E(R_i)\) 是资产 \(i\) 的期望收益率，\(R_f\) 是无风险利率，\(E(R_M)\) 是市场组合的期望收益率。\(E(R_M)-R_f\) 是市场风险溢价。
公式成立需要哪些假设¶
这条关系建立在两件事上：一是怎样形成最优投资组合的理论，二是每个人都会这样做的假设。第二项一直令我不安，但先接受它。想象一个世界，每个人都有聪明的资产管理人，认真计算方差与协方差。在那个理想世界里，证券市场线应当成立。
当 \(\beta=0\) 时，资产的期望收益等于无风险利率；当 \(\beta=1\) 时，等于市场期望收益；Beta 越高，投资者要求的期望收益越高。
高收益不是免费的优越性¶
有些资产预期回报高于另一些，并不表示买低回报资产的人愚蠢。聪明投资者会持有所有股票、债券、房地产和其他资产，只是它们的预测回报不同。高回报总要与高 Beta、也就是更高系统性风险相联系。
为什么总波动没有出现在公式里？因为公司特有风险可以通过持有很多证券来消除。市场不会为一个投资者本可以免费分散掉、却自己选择集中的风险提供额外回报。只有无法从市场组合中消除的共同风险得到补偿。
负 Beta 资产的期望收益甚至可能低于无风险利率。有人会问：“明知黄金回报比无风险资产还低，为什么还要这么笨去买它？”这并不笨。它在股市下跌时上涨，降低整个组合方差。低收益本身就是购买保护的成本。
反过来看苹果，我们事后会惊叹过去二十年的高回报，并问自己没有把全部资金投入是不是傻瓜。不是。事前没人知道风险最终怎样兑现；苹果 Beta 很高，在繁荣中帮助很大，在股灾中却不能保护你。理想投资者持有切点组合，不会只被苹果高收益诱惑，也不会被负 Beta 资产的低收益吓退，而是按它们共同形成的整体风险作配置。
理解补充｜CAPM 的完整定价链条
资产与市场共同下跌得越多，协方差越大，Beta 越高；投资者因此要求更高的期望收益。对既定未来现金流来说，要求收益越高，今天愿意支付的价格越低。这里的“高期望收益”来自更低买入价格和更高风险，并不表示资产质量更好。
为什么说 CAPM 只是“半真理”¶
理论涉及切点组合、杠杆以及资产怎样共同运动，是现代金融的核心思想。但 CAPM 不是绝对正确，只是一个“半真理”。现实中并非每个人都持有同一最优风险组合，投资者信息不同，不能都按同一利率借贷，也不一定只关心均值和方差。Beta 会变化，市场组合也难以真正包含所有人力资本、房地产和非交易资产。尽管世界与模型不完全一致，思考这个理想化世界仍非常有用：评价风险必须看资产对整个组合的贡献。
保险与金融其实在做同一件事¶
负 Beta 资产很像保险。你可以持有苹果，也可以希望拥有一份在苹果失败时赔钱的合约。它可以叫保险，也可以做成针对某家公司的信用违约互换（CDS），相当于定制的负 Beta。保险与金融概念本来就密切相连，只是历史起源、行业和监管不同。在美国，证券由联邦证券交易委员会监管，保险传统上由州政府监管；参与者不同，做的却都是风险分配。
金融类比也会延伸到人生。期权是现在付出代价，保留以后选择的权利。有人开玩笑说，承诺结婚像行使一份期权，迟迟不愿承诺的人只是在寻找婚姻期权的最优行权时机。这个玩笑并非完全没有洞见，因为金融处理的是人生基本风险在商业世界中的对应物。不过我不想轻佻地谈婚姻；我自己已经结婚四十年。类比只是类比，却不一定完全离题。
卖空、市场均衡与有效边界¶
怎样持有负数量的股票¶
计算最优投资组合时，为什么会得出某些资产应持有负数量？负权重意味着 卖空（short sale）。在世界大多数国家，你可以像持有正数量一样持有负数量。在线经纪账户通常需要另外申请卖空权限，随后由经纪人帮你借入股票并卖出。你欠别人相同数量的股票，未来必须买回归还。这个机制已经常规运行了几个世纪，只是多数个人投资者不会使用。
为什么卖空？若认为一只股票定价过高、将要下跌，可以不只是不买，还卖出负数量。若价格下跌，卖空者获利；若价格上涨，卖空者亏损，而且损失理论上没有上限。CAPM 的数学允许借款以及正、负持仓，再从中寻找最优组合。
CAPM 均衡中的卖空悖论¶
但把“所有人都作出同样的最优选择”的假设贯彻到底，会得到一个有趣结论：均衡中的最优市场持仓不能对某只股票整体为负。如果一个投资者按模型应该卖空它，每个人都应卖空；那么谁持有并借出这些股票？所有人的头寸不可能加总成现有正供给。
卖空让投资者可以表达负面判断，也能对冲已有风险。数学会允许卖空，但在这个对称均衡里，平均净持仓不会为负。模型假设每个人都理性、没有个人特有的背景风险，除杠杆程度外都想做同一件事。现实当然有卖空，因此我多少需要为这个抽象假设道歉；但它仍是一个重要模型。
现实市场会在危机中限制卖空¶
美国历史上通常允许卖空，但金融危机中政府担心出现 1929 年式崩盘，一度临时禁止卖空约 799 只股票。支持者认为卖空可能形成攻击和自我强化，反对者认为禁令妨碍价格发现、降低流动性。这个例子说明，市场自由和危机干预之间没有简单答案。
耶鲁捐赠基金向有效边界移动¶
假设不限制卖空，并且所有人都仔细计算组合收益的均值与标准差，就会出现最优投资组合和 有效边界（efficient frontier）。David Swensen 在书中说明，他接管耶鲁捐赠基金时，组合管理得并不好；图表展示 1990 至 2000 年间，耶鲁组合怎样向有效边界移动。他强调分散化，并把投资范围扩展到私募股权、房地产和其他非传统资产。这里可以说，耶鲁在做投资组合的科学管理。
普通投资者、政府与自由市场¶
课堂上有人随后问：利率这么低，不精通金融的中产阶级该怎样投资？我半开玩笑地说，利率正在上升，也许可以等五年。可问题很根本：多数人不是金融奇才，难道应由政府替他们投资？政府挑选投资的历史记录也并不特别好。
美国很早就发展了活跃的股票市场和其他投机市场。人们会亏钱，也曾被占便宜；另一方面，广泛参与投资形成了关注商业、同情企业活动的文化。投资企业的人，可能更不愿投票支持一个压制企业的强人领袖。
Thomas Edison 带着电灯构想出现时，也可能只是个疯子，谁知道呢？仍然有人愿意投资他；当然，另一些相似故事失败了。把时间拉到一两百年，美国这种允许试验的制度总体看起来相当成功，并传播到世界其他地方。
这不仅是基金经理的技术问题。自由市场让普通人参与投资决策，帮助社会发现价格、分配资本，虽然结果不会对每个人都好。卖空也许令人不舒服，但允许批评性判断进入价格是市场的一部分。与此同时，市场不是脱离法律与伦理的自然现象，它依赖规则，规则在危机时尤其会受到考验。
最优投资组合、无风险资产与杠杆¶
“人人理性”是一个思想实验¶
资本资产定价模型以理性市场和理性投资者为基础。可“理性”到底是什么意思？还有一句名言说，市场保持非理性的时间可能比你保持偿付能力的时间更长。我的妻子是一位心理学家，你也可以去问她；经济学家使用的是一个非常简单的人类模型。
有时我甚至觉得，真正理性的人根本不关注金融市场，而去做更重要的事，比如交朋友。不过，人确实有一部分基本理性，也经常犯错。我们以后会在行为金融中详细讨论。你认为自己理性吗？我从没觉得自己格外理性，也会缺乏自律、变懒，或因为事实太乏味而追逐娱乐。这些都是人类特征。
CAPM 的英雄式假设，是每个人都照这个模型投资，而且这一假设经常未经批判就被接受。问一百个普通人，可能不到一个能解释 CAPM，直接假定所有人都在执行它，表面看来非常荒谬。尽管如此，我仍喜欢把数学走一遍：如果每个人都极端理性、合乎逻辑，市场会怎样？这个思想实验很有意思。
一项风险资产加一项无风险资产¶
先考虑一项风险资产和一项无风险资产。把总财富标准化为 1 美元，风险资产投入 \(w\) 美元，剩下 \(1-w\) 美元投入收益较低但确定的无风险资产，则：
当 \(0<w<1\) 时，投资者把部分资金放在风险资产，部分放在无风险资产。当 \(w>1\) 时，无风险资产权重为负，表示借款并加杠杆投资。\(w=-1\) 也可以：卖空 1 美元风险资产，把总计 2 美元放入无风险资产。若风险资产平均收益更高，这通常不是聪明选择；你承担与 \(w=1\) 相同幅度的风险，却站在收益关系错误的一边。
期望收益与标准差沿一条直线变化。这揭示一个简单事实：你想要多高的期望收益，我都可以通过增加风险给你。想要明年 100% 的期望收益？可以把杠杆加到极限，但你也很可能被全部抹去。
杠杆能制造任何期望收益，也能制造破产¶
课程给出一个刻意夸张的例子。世界上只有两项资产：风险资产期望收益率为 20%，标准差为 5%；无风险借款利率为 10%。投资者自己有 1 美元，又从无风险市场借 8 美元，把 9 美元全部投入风险资产。平均来看，期末风险资产价值变成 10.80 美元；偿还 \(8\times1.1=8.80\) 美元后，剩下 2 美元，自有的 1 美元翻倍。等价地，相对于 1 美元自有资本，期望净收益为：
收益率标准差则被放大为：
只要风险资产的实际收益低于约 \(-2.2\%\)，投资者就需要申请破产。虽然风险资产本身只需下跌约 2.2% 就足以耗尽资本，但这一结果比其 20% 的均值低约 4.4 个模型标准差。借款把期望收益放大，也把并不算巨大的资产下跌放大成破产。
两项风险资产为何必须计算协方差¶
对两项风险资产，组合方差还包括协方差项：
协方差为正时，最后一项提高组合方差，因此正协方差对分散化不利；协方差为负时，两项风险资产倾向于反向运动，最后一项降低组合方差。
计算结果受历史参数约束¶
相比 Alexander Crump 的时代，我们现在有统计数据。设想你正在管理一个组合，已经用历史资料算出两项资产的平均收益、方差和彼此的协方差。你当然可以追问，这些历史期望、方差和协方差未来是否仍然成立，也许世界已经改变。作为第一步，我们暂且假设它们随时间稳定，再问在这个假设下应该怎样配置。这正是 Markowitz 在二十世纪五十年代初系统解决的问题。
若未来与历史不同，算得再精确也未必可靠。优化器对输入非常敏感，一点估计误差就可能给出极端权重。因此，结果必须经过经济常识、情景分析和稳健性检查。
理解补充｜杠杆例子的账是怎样算的
100% 是概率加权后的期望收益，不是承诺收益，更不表示最可能恰好赚 100%。期末先看 9 美元风险资产的实际收益，再偿还 8 美元借款的利息。若资产下跌 2.2%，损失约为 \(9\times2.2\%=0.198\) 美元；再加 0.8 美元利息，总损失约 0.998 美元，几乎耗尽最初的 1 美元。这里忽略了税费、保证金和强制平仓，现实风险只会更复杂。
有效边界：从股票、债券到更多资产¶
用期望收益和标准差画出可行组合¶
现在把组合权重 \(w\) 从公式中消去，直接画出期望收益与标准差的关系，这就是有效投资组合边界。横轴是组合收益标准差，纵轴是年期望收益。先用美国股票和美国长期债券的历史期望收益、方差和协方差计算。这里的长期债券本身也有风险；更一般地说，图中的“股票”和“债券”可以换成任意两项风险资产，例如 Microsoft 和 Tesla，论证仍然成立。
为什么下半段组合不应被选择¶
全部持有股票会落在一个高收益、高标准差的点；全部持有长期债券会落在另一个较低收益、较低标准差的点；各持一半则落在中间。连续改变权重，会得到无穷多个可能组合和一条向左弯曲的曲线。
曲线的下半段是无效的：假如你选了下面某点，另一个顾问会说：“为什么不选正上方那个点？风险完全一样，收益却更高。”低于最小方差点的整段都被支配，永远不应选择；上半段才是有效边界。沿上半段选择哪一点，则取决于个人对风险和收益的偏好。
权重超过 100% 意味着杠杆¶
若允许卖空，权重可以小于 0 或大于 100%。例如 120% 股票和 -20% 债券，意味着卖空债券并把所得资金加到股票上。这会扩展可行集，也会带来杠杆和模型误差风险。优化公式可能建议看似精确的极端配置，投资者不能因此放弃判断。
“安全债券”也可能是未分散的风险¶
David Swensen 到任前，耶鲁就处在图中不理想的位置。老派投资顾问会说，像耶鲁这样的机构应把钱放进稳健、安全的政府债券。在基金会投资领域，这一度几乎像宗教教条。二十世纪六十年代 Ford Foundation 对大学捐赠基金的研究已经指出，大学一味购买债券并不明智；改变观念仍花了很长时间，因为大学董事会常由非常传统的教育界人士组成，很难想象把捐赠资金投入股票。
欧洲许多基金会也曾把所有资金放在所谓安全债券里。1923 年德国恶性通货膨胀使德国基金会的债券财富几乎全部化为乌有。它们本应想到，单一持有债券既不安全，也没有分散；名义固定不等于长期实际购买力稳定。Swensen 后来推动耶鲁真正改变这种做法。
加入石油为什么能改善边界¶
在股票和债券之外加入第三项资产石油，并用实际历史方差与协方差计算，新的有效边界会更复杂，也会支配原来只有股票和债券的边界。课程图中的最小标准差组合约为 9% 石油、27% 股票、64% 债券；另一个点约为 21% 石油、79% 股票、0% 债券；更激进的点可达到 28% 石油、115% 股票和 -44% 债券。
最小标准差点不一定是最佳点，因为它也牺牲了一部分收益。选择仍取决于个人偏好。重要的是，加入石油以后，不应再只持有原来的股票和债券组合，因为可以在相同收益下获得更低标准差。
石油本身非常危险。制作课程图表时，它一度在 2008 年超过每桶 150 美元，后来又跌到 30 美元以下。看到如此剧烈波动，人们会说“那我离石油远一点”。投资组合理论的回答却不是完全排除，而是配置适当比例，因为它与其他资产的共同运动方式可能改善组合。以上具体价格和权重来自课程样本，不是永久投资建议。
有效边界把本编许多内容连在一起：我们必须估计分布和相关性，也必须警惕厚尾和参数变化；可以用分散化降低风险，却不能消除系统性风险；还可以借助市场，把风险转给更愿意承担的人。
风险令人不安，但商业离不开尝试¶
课堂最后有人问，在市场剧烈波动、许多潜在投资者害怕参与时，应当传达什么信息。我的回答只能是混合的。投资股票确实令人不安：你暴露在金融危机、心理性恐慌以及许多根本无法全部评估的风险里。世界各地很多人因此决定远离股票，觉得市场是一片泥潭，推销者不可信。
这种氛围会压制企业，而企业最终又是繁荣的来源。自由市场看起来并不漂亮，人们有时确实会被占便宜，于是社会会向往更纯粹的制度，甚至转向各种社会主义形式。另一方面，最有活力的新事物往往出现在拥有市场和价格、允许个人主动行动并承担后果的国家。
商业永远需要直觉判断和冒险。你不可能知道所有风险，总有一个时刻只能说：“我就试试看。”结果也可能很坏。人类社会的经验似乎是，这套制度虽然看起来古怪，却总体运行得不错。
金融市场支持一个允许尝试的社会。人们之所以愿意承担创业和长期投资风险，不仅因为可能获得回报，也因为保险、有限责任、分散化和资本市场限制了失败的后果。